Section: New Results

Théorie spectrale max-plus et géométrie métrique/Max-plus spectral theory and metric geometry

Introduction

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Cormac Walsh.

Étant donné un noyau $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$, on peut lui associer le problème spectral max-plus

dans lequel on cherche le vecteur propre $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ et la valeur propre correspondante $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$. Comme nous l'avons rappelé dans les § 3.2 et 3.3 , le problème spectral (9 ) intervient en contrôle ergodique: l'ensemble $S$ est l'espace des états, et l'application $a(x,y)$ fournit le gain associé à la transition $x\to y$. Le cas où $S$ est fini est classique, l'on a alors un résultat précis de représentation de l'espace propre, à l'aide d'un certain graphe, dit graphe critique. Des résultats existent également lorsque $S$ est compact et que le noyau vérifie certaines propriétés de régularité.

Dans  [64] , nous avons considéré le cas où $S$ est non compact. Lorsque $\lambda =0$, l'espace propre est analogue à l'espace des fonctions harmoniques défini en théorie (classique ou probabiliste) du potentiel. En introduisant l'analogue max-plus de la frontière de Martin, nous avons obtenu un analogue de la formule de représentation de Poisson des fonctions harmoniques : toute solution $u$ de (9 ) peut être représentée sous la forme :

où ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ est l'analogue max-plus de la frontière de Martin minimale (l'ensemble des fonctions harmoniques extrémales normalisées), et où ${\mu }_u$ joue le rôle de la mesure spectrale. Nous avons montré aussi que les éléments de l'espace de Martin minimal peuvent être caractérisés comme les limites de “quasi-géodésiques”. La frontière de Martin max-plus généralise dans une certaine mesure la frontière d'un espace métrique construite à partir des horo-fonctions (fonctions de Busemann généralisées), ou horo-frontière. Ces résultats inspirent les travaux des sections suivantes, qui portent sur des cas remarquables d'espaces métriques (§ 6.2.3 ) ou sur des applications en théorie des jeux (§ 6.2.2 ).

English version

Let the kernel $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ be given. One may associate the max-plus spectral equation (9 ), where the eigenvector $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ and the eigenvalue $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$ are unknown. As we recalled in § 3.2 and refmonotone, this spectral problem arises in ergodic optimal control: the set $S$ is the state space, and the map $a(x,y)$ is the transition reward. The case when $S$ is finite is classical, a precise spectral theorem is known, with a characterisation of the eigenspace in terms of a critical graph. Some results have been shown when $S$ is compact, assuming that the kernel $a$ satisfies some regularity properties.

In  [64] , we considered the case where $S$ is non-compact. When $\lambda =0$, the eigenspace is analoguous to the set of harmonic functions defined in classical or probabilistic potential theory. By introducing a max-plus analogue of the classical Martin boundary, we obtained an analogue of the Poisson representation of harmonic functions, showing that any solution $u$ of (9 ) may be represented as in (10 ) where ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ is a max-plus analogue of the minimal Martin boundary (the set of normalised extremal harmonic functions), and ${\mu }_u$ plays the role of the spectral measure. We also showed that the elements of the minimal Martin boundary can be characterised as limits of certain “almost-geodesics”. The max-plus Martin boundary generalises to some extent the boundary of metric spaces defined in terms of horofunctions (generalised Busemann functions), or horoboundary. These results have inspired the work of the next sections, which deal either with interesting examples of metric spaces (§ 6.2.3 ) or with applications to zero-sum games (§ 6.2.2 ).

Asymptotiques d'itérées d'applications contractantes au sens large et jeux à somme nulle en horizon long/Asymptotics of iterates of nonexpansive mappings and zero-sum games

Participants : Jérôme Bolte, Stéphane Gaubert, Guillaume Vigeral.

On s'est intéressé ici à l'existence du paiement moyen pour les jeux répétés, et plus généralement, à l'existence du vecteur de “taux de fuite” ${lim}_k{f}^k\left(x\right)/k$ où $f$ est une application de ${ℝ}^n$ dans lui même, nonexpansive pour une norme quelconque. Dans le cas particulier des jeux, $f$ est un opérateur de Shapley, qui est nonexpansif pour la norme sup. On a montré dans [15] que la limite existe si l'application $f$ est définissable dans une structure o-minimale. Ceci généralise des résultats de Bewley, Kohlberg, et Neyman, qui montraient que la limite existe si $f$ est semi-algébrique. L'extension au cas o-minimal permet notamment de traiter des opérateurs de type “log-exp” apparaissant en contrôle sensible au risque.

English version

We studied the question of the existence of the mean payoff for repeated games, and more generally, the existence of a vector of “escape rates”, ${lim}_k{f}^k\left(x\right)/k$ , where $f$ is a self-map of ${ℝ}^n$, non-expansive in some norm. In the special case of zero-sum games, $f$ is a Shapley operator, and it is sup-norm nonexpansive. We showed in [15] that this limit does exist as soon as the map $f$ is definable in an o-minimal structure. This generalizes results of Bewley, Kohlberg, and Neyman, who showed that this limit exists if $f$ is semi-algebraic. The extension to the case of o-minimal structures allows one in particular to deal with log-exp type operators arising in risk sensitive control.

Isométries de la géométrie de Hilbert/Isometries of the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Bas Lemmens [Kent University, UK] .

Dans nos travaux précédents, nous avons étudié la géométrie de Hilbert (d'un ensemble convexe) en dimension finie, en particulier son horo-frontière et son groupe des isométries. Le chapitre de livre [44] donne une vue d'ensemble de ces travaux. Le cas de la dimension infinie est aussi intéressant, et a été utilisé depuis de nombreuses années en analyse non linéaire. Malgré cela, la géométrie de ces espaces est très peu connue en dimension infinie. Nous collaborons sur ce sujet avec Bas Lemmens de l'Université de Kent. Nous étudions par exemple le problème suivant. En dimension finie, il est connu que la géométrie de Hilbert est isométrique à un espace normé si et seulement si le convexe est un simplexe. Nous essayons de montrer plus généralement que la géométrie de Hilbert est isométrique à un espace de Banach si et seulement si le convexe est le cône des fonctions positives continues sur un espace topologique compact. Pour cela, nous étudions l'horo-frontière en dimension infinie.

English version

Previously, we have been studying the Hilbert geometry in finite dimensions, especially its horofunction boundary and isometry group. The book chapter [44] contains a survey of this work. However, the infinite dimensional case is also interesting, and has been used as a tool for many years in non-linear analysis. Despite this, very little is known about the geometry of these spaces when the dimension is infinite. We are collaborating on this topic with Bas Lemmens of the University of Kent. An example of a problem we are working on is the following. In finite dimension it is known that a Hilbert geometry is isometric to a normed space if and only if it is a simplex. We are attempting to show that, more generally, a Hilbert geometry is isometric to a Banach space if and only if it is the cross-section of a positive cone, that is, the cone of positive continuous functions on some compact topological space. To tackle this problem we are finding it useful to study the horofunction boundary in the infinite-dimensional case.

Croissance des boules dans la géométrie de Hilbert/Volume growth in the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Constantin Vernicos [Université Montpellier 2] .

Avec Constantin Vernicos de l'Université Montpellier 2, nous étudions la croissance du volume de la boule d'une géométrie de Hilbert (d'un ensemble convexe) en fonction du rayon. En particulier, nous étudions l'entropie volumique:

où $B(x,r)$ désigne la boule de centre $x$ et de rayon $r$, et $Vol$ est une notion de volume particulière, telle que celle définie par Holmes–Thompson ou celle de Busemann. L'entropie ne dépend pas du choix particulier de $x$, ni de celui du volume. Il est connu que pour l'espace hyperbolique, ou toute géométrie de Hilbert dont la frontière est $C^2$ et de courbure strictement positive, l'entropie est égale à $n-1$ lorsque la dimension de l'espace est $n$, et il a été conjecturé que ceci correspond aussi à l'entropie maximale d'une géométrie de Hilbert en dimension $n$. Afin de prouver cette conjecture, nous cherchons d'abord à étudier le lien entre l'entropie et l'approximabilité du convexe par des polytopes, et ensuite à borner cette approximabilité. La première étape nécessite d'étudier la croissance du volume dans le cas de polytopes. Dans ce cas, la croissance est polynomiale de degré $n$, plutôt qu'exponentielle, et il est important de comprendre le lien entre le coefficient dominant du polynôme exprimant le volume et la complexité du polytope. Nous avons obtenu une formule pour ce coefficient, laquelle dépend de la structure combinatoire du polytope.

English version

In a collaboration with Constantin Vernicos of Université Montpellier 2, we are investigating how the volume of a ball in a Hilbert geometry grows as its radius increases. Specifically, we are studing the volume entropy (11 ) where $B(x,r)$ is the ball with center $x$ and radius $r$, and $Vol$ denotes some notion of volume, for example, the Holmes–Thompson or Busemann definitions. Note that the entropy does not depend on the particular choice of $x$, nor on the choice of the volume. It is known that the hyperbolic space, or indeed any Hilbert geometry with a $C^2$-smooth boundary of stricty positive curvature, has entropy $n-1$, where $n$ is the dimension, and it has been conjectured this is the maximal entropy possible for Hilbert geometries of the given dimension. Our approach to this conjecture is to first relate the entropy to the approximability of the convex domain by polytopes, and then bound this approximability. The first of these steps requires us study the volume growth in the polytopal case. Here the growth is polynomial rather than exponential, of degree $n$, and it is important to know how the constant on front of the highest term depends on the complexity of the polytope. We have a formula for this constant in terms of the combinatorial structure of the polytope.

Consensus non-commutatif et contraction d'opérateurs de Kraus/Noncommutative consensus and contraction of Kraus maps

Participants : Stéphane Gaubert, Zheng Qu.

Dans le travail [17] , on s'est intéressé à la vitesse de convergence vers l'équilibre d'une itération de la forme $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, où $T$ est une application linéaire préservant un cône dans un espace de Banach $X$, telle que $T\left(e\right)=e$, pour un certain vecteur $e$ dans l'interieur du cône. On s'intéresse aussi à l'itération dans l'espace dual, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, lorsque $\langle y^0,e\rangle =1$.

Le cas classique est celui où $T\left(x\right)=Px$ est un opérateur de Markov. L'itération primale traduit alors la convergence vers le “consensus”, et l'itération duale traduit la convergence de la distribution de probabilité en temps $k$ vers l'état stationnaire. Dans ce cas, le taux de contraction (en un coup) $\kappa \left(P\right)$ d'une itération primale, pour la semi-norme de Hilbert ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, ainsi que le taux de contraction d'une itération duale, pour la métrique en variation totale, coïncident et sont caractérisés par une formule dûe à Doeblin et Dobrushin (coefficient d'ergodicité),

On a donné ici une généralisation de cette formule au cas d'opérateurs abstraits, qui s'applique en particulier aux opérateurs de Kraus qui interviennent en information quantique. Ces derniers opérent sur l'espace des matrices symmétriques, et sont de la forme

Dans [53] , nous avons étudié des questions de complexité pour les applications de Kraus, montrant en particulier qu'il est NP-dur de vérifier qu'une application de Kraus envoie le cone dans son interieur.

English version

In [17] , we studied the speed of convergence to equilibrium of an iteration of the form $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, where $T$ is a linear map preserving a cone in a Banach space $X$, such that $T\left(e\right)=e$, for some vector $e$ in the interior of the cone. We also considered the iteration in the dual space $X^{*}$, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, where $\langle y^0,e\rangle =1$.

The classical application arises when $T\left(x\right)=Px$ is a Markov operator. Then, the primal iteration represents the dynamics of consensus, whereas the dual iteration represents the evolution of the probability distribution as a function of time. Then, the (one-shot) contraction rate $\kappa \left(P\right)$ of the primal iteration, with respect to Hilbert's seminorm ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, and the contraction rate of the dual iteration, with respect to the total variation metric, coincide, and are characterized by a formula of Doeblin and Dobrushin (ergodicity coefficient),

We gave here a generalization of this formula to an abstract operators on a cone. This covers in particular the Kraus maps arising in quantum information theory. The latter maps act on the space of symmetric matrices. They can be written as

In [53] , we studied complexity issues related to Kraus maps, and showed in particular that checking whether a Kraus map sends the cone to its interior is NP-hard.